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2024.01.06 (Sat)

三角錐数


   三角錐数(Wikipedia)

 たとえば、ボールを三角錐の形に積み上げるとします。
 いちばんてっぺんには、1個。
 上から2段目には、3個。合計、4個。
 3段目には、6個。合計、10個。
 4段目には、10個。合計、20個。

 そして、5段目には、15個。
 合計は、35個です。
 これが、上でくるくると回転している画像です。

 とまあ、こんな具合で、続けていきます。
 このとき、「1,3,6,10,15,……」が、「三角数」です。
 ボールを正三角形のように並べたときの個数です。

 また、「1,4,10,20,35,……」を「三角錐数」といいます。
 ボールを正三角錐のように並べたときの個数です。
 「三角錐数」は、「三角数」の和だと理解できます。

 さらに、n段まで積み上げたときの「三角数」、「三角錐数」は、それぞれ次の式で求められます。


     n(n+1)/2

     n(n+1)(n+2)/6



 では、問題。
 22段目まで積み上げたときの、ボールの個数(三角錐数)を求めてください。

【 続きです! 】


 22番目の三角錐数は、「n(n+1)(n+2)/6」に22を代入すれば、求められます。
 せっかくですから、1番目から 22番目までの三角錐数を紹介しましょう!

   1, 4, 10, 20, 35,
   56, 84, 120, 165, 220,
   286, 364, 455, 560, 680,
   816, 969, 1140, 1330, 1540,
   1771, 2024


 ということで、22番目の三角錐数は「2024」です!
 「2024」は、わりと特徴のある数ですね。

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テーマ : 数学 - ジャンル : 学問・文化・芸術

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