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2020.06.30 (Tue)

円錐、球、円柱の体積

 ブログの中で、これまでに何度か、球の体積について扱ってきました。
 今日は、円錐と球と円柱を、統合して考えたいと思います。

 円柱の体積は、求められる。
 円錐の体積も、求められる。
 そして、球の体積も、なんとか求められる。

 ところが、その「求められる」というのは、それぞれの体積の公式を知っているだけで、「お互いの関係」については知らない人が多い。
 だから、「こういう関係があるのですよ」というと、びっくりする前に、「ほんと~?」と疑われることもよくあります。


   円錐、球、円柱
    ※画像をクリックすると、大きな写真を見ることができます。


 上の図のように、背の高さが等しい、円錐、球、円柱があると思ってください。
 また、この円柱の中に球がぴったりと入ると思ってください。
 さらに、この円柱の中に、円錐がぴったりと入る。つまり、底面が合同。

 このとき、円錐、球、円柱のそれぞれの体積の比を考えてみましょう。

【 続きです! 】


 詳しい計算は自分でやっていただくとして、結果だけをお知らせしましょう。
 以下のような、比です。

   (円錐の体積):(球の体積):(円柱の体積) =1:2:3

 これは、もう、「美しい」としか言いようがない!
 「1:2:3」ですよ!
 ということは、次のことが成り立つということです。

    (円錐の体積)+(球の体積)=(円柱の体積)

 私は、このことを始めて知ったときは、この美しさに、背筋が凍るほどでした。
 美しいので、一発で印象に残ります。
 このことが印象に残れば、体積の公式なんて、3つに別々に覚える必要はありません。
 どれか一つが分かっていればいいのです。


   円錐、球、円柱
    ※画像をクリックすると、大きな写真を見ることができます。


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テーマ : 数学 - ジャンル : 学問・文化・芸術

タグ : 公式 美しい 1:2:3 体積 円錐 円柱

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Comment

ふくろうさんへ

こんばんは

「カヴァリエリの原理」の原理を使った証明は比較的有名ですので、たぶん、私も知っているものだと思います。

加法定理については、見ておきたいと思います。
情報を、ありがとうございました。


星田直彦 |  2020.07.01(水) 18:24 | URL |  【編集】

恐るべしWikipedia

 ご存知かもしれませんが、Wikipediaの『カヴァリエリの原理』に円錐+球=円柱となる証明が、中学生にも理解できるように、記されています。

 その昔「加法定理を証明せよ」と言う問題が東大入試で出題されたそうです。数学の先生が、加法定理の証明は東大の入試問題になるほど難しいから、公式として覚えてしまいなさい、と仰ってました。
 しかしWikipediaの『三角比』には、座標系(と三平方の定理)を利用した、これまた中学生にも理解できる(cosの)加法定理が載っています。

 恐るべし、Wikipedia。
ふくろう |  2020.06.30(火) 07:54 | URL |  【編集】

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