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2015.12.31 (Thu)

2016本を並べてみよう!


   ※USJ。本文とは関係ありません。

 さぁて、大晦日のブログは、数学の問題で飾ろうと思います。
 来年の2016年にちなんだ問題です。

 ボウリングのピンの配置を想像してください。
 先頭に1本。次の列が2本。その後ろに3本。そして、最後の列に4本。

    1+2+3+4=10

 このような場合、「10は『三角数』である」と言います。

「三角数」というのは、正三角形の形に点を並べたとき、点の総数としてあらわれる数のこと。
 たとえば、5番目の三角数は……、

     ●
     ●●
    ●●●   1+2+3+4+5=15
    ●●●●
   ●●●●●


 明日からは、2016年。
 じつは、この「2016」という数は、三角数なんです。
 そこで、問題。

   2016本のピンをボウリングのピンのように並べたとき、
   最後列に並ぶピンの本数を求めよ!


 これは、つまり、「2016は何番目の三角数か?」ということなんですけどね!
 地道にたし算を続ければ、いつか必ず答えは発見できますよ!

【 続きです! 】


    1+2+3+4+……+(n-1)+n=2016 ……(1)

 この式を成り立たせる n を求めればよいわけです。
 これを、小学生ならどうやればいいか?
 ちょっと、アイデアが必要になります。

 たとえば、「1+2+3+4+5 を計算せよ!」という問題があったとします。
 単純に足せばわかるわけですが、あとで(1)に挑戦することを想定して、別の方法で考えてみます。

     ●○○○○○
     ●●○○○○
    ●●●○○○
    ●●●●○○
   ●●●●●○


 このように、元の三角形と同じものをひっくり返してくっつけます。
 こうすると、どの列にも 1+5=6(本)のピンがあることがわかります。
 これが、5列あるわけですから……、

   6×5=30(本)

 答えは、この本数の半分ですから……、

   30÷2=15(本)

 ここまでの流れを一つの式で表すと

   (1+5)×5÷2=15(本)

 これでだいたいの流れがつかめました。
 最近の小学生は文字も扱えるのですが、ここでは「○本」としましょう。
 すると……、

   (1+○)×○÷2=2016

 あるいは、

   (1+○)×○=4032

 つまり、連続する2つの整数の積が4032になればよいのです。
 2次方程式を解くのは小学生にはキツイですから、探りを入れましょう。

   50×50=2500
   60×60=3600
   70×70=4900


 どうやら、60と70の間に答えはありそうです。
 ここからは、電卓を使ってもいいでしょう。
 65あたりを調べてみましょう。

   65×66=4290

 おや、大きすぎましたね!
 これより小さい数で調べてみなければなりません。
 目的の「4032」の一の位が「2」ですから……、3×4=12 が怪しいですね。

   63×64=4032

 ビンゴ!

             答え.63本
             ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄


【類題】
 64チームがリーグ戦で試合をする。引き分け再試合はないものとして、全部で何試合行われるか。

   64×63÷2=2016

             答え.2016試合
             ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
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テーマ : 数学 - ジャンル : 学問・文化・芸術

タグ : 2016は何番目の三角数か? 2016年 三角数 ボウリング 大晦日

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Comment

おやじさんへ

明けましておめでとうございます。
楽しい問題をありがとうございます。

この問題は、「1対1対応」の例としてよく出題されますね。
そういうところに気づく頭の回転をいつまでも持ち続けられるといいなぁと願っています。
星田直彦 |  2016.01.02(土) 16:30 | URL |  【編集】

明けましておめでとうございます。
本年もよろしくお願いします。
甚だ簡単ではございますが、これを持ちまして念頭のご挨拶と代えさせていただきます。
昨日の問題ですが、多少は楽しんでいただけましたか?(笑)
答えを発表しておきます。
答えと言うよりは解き方ですね。
まずトーナメント形式の場合、偶数ならすべて一回戦から登場となりますから、計算がラクですよね。ただ、これが奇数となると二回戦から登場するチームが出てきます。
はっきり言って面倒くさいです(笑)
考え方を変えてみると・・・
ひとつの試合で、1チームが敗退し、もう1チームが勝ち抜けます。と言うことは、一試合で1チーム消えていくわけですから、最後の優勝チームを決めるには、全出場チームから1を引いた試合数となります。
問題の49校出場の場合、48試合で優勝チームが決定されるわけです。
気付けば簡単ですよね(笑)
くだらない問題で申し訳無い・・・
また、今年もくだらないコメントを残すことになりそうです(笑)
おやじ |  2016.01.01(金) 10:12 | URL |  【編集】

宇美浜りんさんへ

こんにちは。

台形の面積を求める公式で、上底の長さを0にすれば、三角形の面積の公式に変身します。
そういうところも面白いですね。

総当たり戦の考え方は、さまざまなところで役に立ちます。

来年もよろしくおねがいします。
星田直彦 |  2015.12.31(木) 15:42 | URL |  【編集】

ごきげんよう、おやじです。
2015年も今日で終わりですね。
さて、いつもは隠していることなんですが、私は数学がまったくダメです。いや、ちょっと見栄を張ってしまいました。正確には算数がまったくダメです。
かけ算というのは、元の数字より必ず大きな答えになると信じていたのですが、少数を掛けると小さくなる、というのが納得出来ず、先生にも尋ねたのですが、納得出来る説明を受けられず、算数嫌いになったと自覚しています。今は自力で納得出来るようになりましたけどね(笑)
そんな話はどうでもいいのですが、今回のお話しのように解き方を変えてみると簡単に答えが導き出せる、というのが何かクイズみたいで昔から好きでした。
リーグ戦のお話しが出たので、ひとつ問題を出しましょう。
【問題】
2015年、第97回全国高校野球選手権大会の甲子園出場校は全部で49校でした。
ご存じのように試合はすべてトーナメント形式で行われ、一度でも負けたら優勝できません。さてこの場合、甲子園で何試合行えば優勝校が決まるでしょうか?引き分け、再試合は無いものとして考えてください。

トーナメント形式で49校という奇数が厄介ですが、ゆっくり考えれば答えは出ると思います。しかし解き方を変えてみるとあっという間に答えが出せます。
全出場校3,906校の地方大会からの全試合数だって簡単に出せますよ(笑)
答えは出るでしょうから、解き方を来年早々にでも発表しましょう。
それでは、皆さんよいお年をお迎えください。
おやじ |  2015.12.31(木) 08:36 | URL |  【編集】

台形と同じ

これは年上の親族が持っていた学習雑誌で(積み重ねた本数の計算でしたが)
台形の公式を習う学年で「台形と同じように計算できる」とありました。
当時は「(上底+下底)×高さ÷2」は必修でしたので
「(1+最下段の本数)×段数÷2」と。ただし最下段の本数と段数が同じとは書かれてませんでしたが。
直接は必要ないと思われる公式も、覚えておけば役に立つ事もあるので、教科書から削除するのはもったいないですね。必修ではない「発展事項」としてでも書き記してほしい。
なお、総当たり戦の試合総数は、学校で習う前に独自に
「(チーム数×チーム数-チーム数)÷2」だと気づきました。
宇美浜りん |  2015.12.31(木) 07:52 | URL |  【編集】

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