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2015.09.04 (Fri)

サイン、コサイン



 ちょっと前に、どこかの誰かが「サイン、コサイン、タンジェントを教えて何になるのか」と発言したことが大きく話題になっていましたね。

 私はその話を聞いて、エジプトからの留学生(すみません、彼の名前を忘れてしまいました!)から聞いた「サイン、コサインの話」を思い出しました。
 それを聞いた私は、「へぇ~、すごい! いいこと教えてもらった!」と強く感動したのでした。

 簡単に言うと、主要な角に関するサイン、コサインの値の覚え方なんです。
 エジプトの学生が苦労しているのを見て、まずはこんなところから興味を持ってもらえたらと思ったそうです。

 サイン、コサインをすこしでも使いこなせるようになろうと思ったら、せめて、次の5つの角の値については、スッ~と出てくるくらいでないとなりません。

   0゚、30゚、45゚、60゚、90゚

 まあ、中学3年生の数学で学習する、直角二等辺三角形、30゚、60゚、90゚の直角三角形の辺の比がわかっていれば、それほど苦労することはないのです。
 しかし、一応、それぞれの値を紹介しますね。

   正弦  sin 0゚=0    sin 30゚=1/2   sin 45゚=√2/2
        sin 60゚=√3/2  sin 90゚=1

   余弦  cos 0゚=1    cos 30゚=√3/2  cos 45゚=√2/2
        cos 60゚=1/2   cos 90゚=0

 これら10通りの値を手のひらを使って覚えやすくするという方法です。
 ちょっと興味が湧いてきましたか?

【 続きです! 】




 図のように手のひらを広げます。そして、5本の指に「0゚、30゚、45゚、60゚、90゚」を対応させます。

 すると、次の式がうまく成り立つと言うのです。



 たとえばθ=30゚ のときには、薬指を使うことになります。
 この薬指よりも下にある指(式中の「underfingers」のこと)は、小指の1本だけですから、sin 30゚=1/2 となるわけです。

 エジプトからの留学生の話は10人くらいで聞いていたのですが、ここまで聞いてその場の空気が変わったのを覚えています。
「え? この方法で、すべてうまくいくのか?」

 私を含めて他のメンバーもきっと、頭の中で「0゚、45゚、60゚、90゚」の場合の確認が始めたと思います。こういうとき、数学科の検討は素早いなぁと感じます。

「90゚ のときも成り立つのか?」
 誰かそう言うと、すぐに何人かが「成り立つ!」と返しました。

 確かめてみましょう。
 θ=90゚ のときは親指を使います。親指よりも下の指は4本
 √4=2 ですから、sin 30゚=2/2=1 となり成り立ちます。

 もうすでに次の場面に移っているメンバーがほとんどでした。
「そっか~、コサインのときは、upperfingers なんだな!」



 この式がうまく使えることはみなさんで確認してください。

 ちょっと興奮した式でした!
 素晴らしい式なのですが、すこし難点があるとすれば、サインとコサインのどっちが underfingers で、どっちが upperfingers なのかを間違いやすいところかな。

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テーマ : 数学 - ジャンル : 学問・文化・芸術

タグ : upperfinger underfinger 留学生 エジプト タンジェント コサイン サイン 正弦 余弦

00:10  |  数学  |  トラックバック(0)  |  コメント(12)

Comment

パスケルさんへ

おはようございます!

手の回転の仕方、やっとわかりました。
この方法だと、確かにコサインでもサインと同じ式で使えそうですね。

ただ、90度が相対的に動いてしまうのが、むずかしいですよね。
0度が水平で、
90度はそれに対して上向き垂直方向っていうのが使いやすいと思いました。

新たに拡張するのはなかなか難しいですね。
引き続き、考えてみます。
星田直彦 |  2015.09.08(火) 10:16 | URL |  【編集】

あれれ

えーと、言葉で説明しているとこんがらがりますね。

まず、両手を伸ばして手のひらを体の前で合わせた状態があります。
このとき、両手の親指は上を向いています。

サインの時、左手のひらを見て、親指が90度、小指が0度とあてて、考えるのでした。

左手を前に伸ばした状態(親指が上)から、自分から見て左手首を180度時計回りに回すと、親指が下に向いて、手の甲が内側を向きませんか?
(胴体側から見て時計回りで、左手の指先のほうから見て時計回りではありません。)

親指は90度、小指が0度という角度の当て方は同じにしておけば、サインのときの式と同じ式が使えると思ったのです。

でもって、甲が見えるから甲サインと覚えると。
パスケル |  2015.09.08(火) 04:04 | URL |  【編集】

パスケルさんへ

こんばんは?

ん? あれ?
ごめんなさい。よくわかりません。
えっと、左手を時計回りに半回転しても、甲は内側を向きませんよね。
腕がねじれそうになります。


星田直彦 |  2015.09.07(月) 23:38 | URL |  【編集】

コサイン

左手の手のひらを内側に向けてサインは考えますが、
コサインは左手を時計回りに半回転し、親指を下にしてサインと同じように考えてもできますよね。

このとき、手の甲が内側を向きます。
つまり、「甲」が見えるように考えるのが「甲サイン」
ってのはどうでしょうか。
パスケル |  2015.09.06(日) 18:07 | URL |  【編集】

たこねえさんへ

こんにちは!

》その指を含めて数えてしまうと
》大間違えしてしまうますね。(^^ゞ

そうなんですよ。
ですから、この方法で暗記すると言うよりは、
「みんなもよく知っている、サイン、コサインの値が、指を使った方法とうまく一致しているんだよ。面白ね~」ってとらえるのがよいかと思います。
星田直彦 |  2015.09.05(土) 15:07 | URL |  【編集】

パスケルさんへ

続いて、おはようございます。

タンジェントのときは、おっしゃるとおりです。
しかし、まあ、そうなるというだけで、使うのは難しそうですね。

でも、「そうなる」というのがとても面白いです。
星田直彦 |  2015.09.05(土) 10:45 | URL |  【編集】

その指を含めて数えてしまうと

大間違えしてしまうますね。(^^ゞ

暗記に頼らず三角定規の図を書いた方が安全策では?
たこねえ |  2015.09.05(土) 10:40 | URL |  【編集】

パスケルさんへ

おはようございます。

鈍角のときは、両手を使うといいですね。
影絵の「カニ」や「トリ」を作るように手のひらを重ねます。
この重ね方がしっくりきmす。

これだと、サインの値はうまくわかります。
ただ、鈍角のコサインは負の数になるのでうまくいきません。
もうすこし考えてみます。
星田直彦 |  2015.09.05(土) 10:40 | URL |  【編集】

きくちゃんへ

おはようございます!

ね、すごいですよね。

筆記体を使った覚え方の件ですが、サイン、コサインがそれぞれ、c/a、b/a であることを覚えるために、頭文字のs,cの筆記体を使うことが多いですよね。

今回も、s,cの筆記体で覚えることはできるなぁと考えています。
sを筆記体で書くと、最後は下向きになっている。
cを筆記体で書くと、最後は上向きになっている。

あ、これで使えそうですね。
星田直彦 |  2015.09.05(土) 10:33 | URL |  【編集】

タンジェント

そっか。
タンジェント=サイン÷コサインだから

√指の下
----
√指の上

で出るんですね。
90度のときは分母がないので値がないと。
パスケル |  2015.09.05(土) 01:00 | URL |  【編集】

初めてききました!

へ~へ~へ~!!!!!

すごい、すごい!

昔も今も三角形あるいはカーブを画くか思い浮かべて考えていました。

UPPERなのかUNDERなのか・・・
で、思いつきました。

COS、SINを筆記体で書いて、
書き終わりが上を向いているか、下を向いているかで判断します。

SINなら、最後はnで、書き終わりが下を向いているので UNDER
COSなら、最後のエス(筆記体)は上を向いているので UPPER

いかがでしょう?


と言いつつ、これからも絵を使いそうです。
永年慣れ親しんだやり方を変えるのは難しいです。
きくちゃん |  2015.09.04(金) 14:59 | URL |  【編集】

う~む 素晴らしい

素晴らしいですね!

指を使ったロシア式の掛け算なんかは、時々生徒に紹介しますが、これはすごいです!

さっきからタンジェントや、鈍角のときもできないか考えています。
鈍角もふくめた場合は、
サインは両手を合わせて考える。
コサインは両手を広げて考える・・・など。
パスケル |  2015.09.04(金) 14:42 | URL |  【編集】

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