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2015.01.13 (Tue)

平行四辺形に関する定理

 今日は、数学・図形の問題。
 平行四辺形が登場します。

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【問題】



 平行四辺形ABCDにおいて、

   AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=__^2+__^2

 下線に当てはまるのは何でしょう?
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 本当はこれだと、問題の出し方がよくないのですが、ここはお許しください。

 平行四辺形の定義は大丈夫ですね?
 2組の辺がそれぞれ平行である四角形です。

 「AB^2」とは、辺ABの長さの2乗を表しています。
 2乗の場合は、数や文字の右上に小さな「2」を書くのがふつうですが、メルマガやホームページではそれがやりずらいので、このように表します。

 平行四辺形の4辺の長さをそれぞれ2乗して足すと、その結果は?
 何かの2乗と何かの2乗の和になっているのです。

 大変きれいな定理です。
 何か名前が欲しいくらいです。既にあるのかな?

【 続きです! 】


 答えから書きましょう。

   AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=AC^2+BD^2
                        ̄ ̄   ̄ ̄

 なんと、平行四辺形の4辺のそれぞれの2乗の和は、2本の対角線の2乗の和になるのです。
 きれいですね~。

 今回のブログは「きれいだな~」と思っていただければ目的達成なのですが、証明が知りたいという方のために、載せておきます。

 証明には、「中線定理」を使います。
 中線定理については、最後に付けておきます。

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【証明】



 平行四辺形ABCDの対角線の交点をMとする。
 このとき、点Mは対角線AC、BDの中点になっている。

 そこで、△ABDと△CBDに中線定理を適用する。
   AB^2+AD^2=2・BM^2+2・AM^2 ……(1)
   CB^2+CD^2=2・DM^2+2・CM^2 ……(2)

 (1)式と(2)式の辺々を加えると、
   AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=2・BM^2+2・DM^2+2・AM^2+2・CM^2 …(3)

 AM=CM だから、
   2・AM^2+2・CM^2=2・AM^2+2・AM^2
          =4・AM^2
          =AC^2

 BM=DM だから同様に、
   2・BM^2+2・DM^2=BD^2

 したがって、(3)式は、
   AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=AC^2+BD^2  【証明終】
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 では、中線定理も!


   ※画像をクリックすると、大きな画像を見ることができます。


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タグ : 中線定理 2乗 2組の辺がそれぞれ平行である四角形 図形 平行四辺形

00:10  |  数学  |  トラックバック(0)  |  コメント(2)

Comment

雑学の魂さんへ

こんばんは。

このブログは、数学ファンの方もおおくご覧いただいているので、たまには数式がたくさん出てくるのも、いいかなと思いました。

それにしても、美しい定理です。
星田直彦 |  2015.01.14(水) 23:11 | URL |  【編集】

なんか数式を見ると、高校生のときを思い出しますね!

もうまったく覚えていませんが・・・笑
雑学の魂 |  2015.01.14(水) 17:56 | URL |  【編集】

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