09月≪ 12345678910111213141516171819202122232425262728293031≫11月  |HOME管理

2013.05.06 (Mon)

ヴィヴィアーニの定理(続き)

 昨日の「ヴィヴィアーニの定理」の続き。

 「ヴィヴィアーニの定理」とは、このような定理でした。



   正三角形の
   任意の内部の点Pから
   3辺に下ろした垂線の長さの和は、
   正三角形の高さに等しい。

 つまり、上の図で言えば、

   PD+PE+PF=PH

ということ。

 この式が成り立つことを、どのようにして説明するか?

 いくつか方法はあるのですが、昨日は、

 「点Pと3つの頂点に線分を引きます。
  そうすれば、説明をひらめくかな~?」

――と述べました。

 点Pから3つの頂点に向けて、線分を引いてみましょう。
 次の図のようになります。



 このとき、もとの三角形が、青、緑、赤の3つの三角形に分かれていることがわかります。

 これら3つの三角形の面積の和が、もとの三角形の面積に等しくなることを利用して、説明をしようと思います。


【 続きです! 】


 まずは、正三角形の1辺の長さをa、高さをhで表すことにしておきます。

   (青三角形)+(緑三角形)+(赤三角形)=△ABC

 この式が成り立つので……、



 両辺を a/2 で割ると……、



 これで、「点Pから3辺に下ろした垂線の長さの和は、正三角形の高さに等しい」ことが証明されました。

関連記事
スポンサーサイト


テーマ : 数学 - ジャンル : 学問・文化・芸術

タグ : 垂線 正三角形 ヴィヴィアーニの定理

06:00  |  数学  |  トラックバック(0)  |  コメント(0)

Comment

コメントを投稿する

Url
Comment
Pass  編集・削除するのに必要
Secret  管理者だけにコメントを表示  (非公開コメント投稿可能)
 

▲PageTop

Trackback

この記事のトラックバックURL

→http://tadahikostar.blog21.fc2.com/tb.php/1177-c1e6b6f5

この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)

この記事へのトラックバック

▲PageTop

 | HOME |